SISTEM BILANGAN

SISTIM BILANGAN

1.   Bilangan riil

Teorema yang merupakan akibat/implikasi dari ketujuh sifat dasar (ketertutupan, komulatif, assosiatif, distributif, unsur satuan, balikan terhadap operasi tambah, dan balikan terhadap operasi kali), seperti.

1.   a  =  b    «   a  +  c   =   b  +  c, dimana c sembarang.

2.    a  =  b    «   a  .  c   =   b  .  c, dimana c ¹ 0

3.   a/b = c/d  «  a  .  d  =  b  .  c, b, d ¹ 0

4.   a  .  b  =  0  «  a  =  0  atau b  =  0

5.   +     =     , asal c  

6.      =    , asal b, d  0

7.     =    , asal b, d

8.     =  , ,asal b, d

9.     =   , asal b, c, d

2.  Bilangan Kompleks   

Bilangan kompleks z memiliki bagian riel dan bagian imajiner, yang dapat ditulis sebagai berikut:

                                  Z  =  a  +  bi

Dimana:    

a       =  bagian riel

 bi      = bagian imajiner

a  & b         = bilangan riel

Beberapa operasi-operasi yang terdapat dalam bilangan kompleks adalah:

Jika  z₁ = a + bi dan  z₂ = c + di, maka:

a.   z₁  + z₂  =  (a + c)  +  (b + d).i

b.   z₁  . z₂  =  (a + bi)  .  (c + di)  =  (ac – bd)  +  i.(bc + ad)

c.   z₁  / z₂  =    = 

d.   z₂ . =   (c + di)  .  (c - di)  =  c²  +  d²

e.   Bila z₁  = z₂ ,  maka a = c dan b = d

Bidang kompleks atau diagram argan dapat pula digunakan untuk menggambarkan bilangan kompleks dalam koordinat polar (r,). Dalam koordinat polar a = cos dan b = sin, sehingga:

                        Z  =  a  +  bi

                            =   r.

                         =  r . e      

dimana:

       r =  modulus/harga absolut dari z =   =  

  = argumen/sudut terhadap sumbu x = arg (z) = tan^-1 (b/a)

Deret Taylor untuk fungsi f(x) di sekitar x = a didefinisikan sebagai:

 

dimana: , xo diantara a dan x

deret  tak terhingga yang bersesuaian dengan persamaan di atas dinamakan deret formalTaylor untuk  f(x) tang konvergen pada suatu selang, bilamana    pada selang ini. Beberapa deret Taylor yang penting deserta kekonvergenannya hádala sebagai berikut:

1.          

2.             

3.                 

4.           

5.             

Andai deret untuk berlaku untuk bilangan kompleks kita dapat menunjukkan bahwa rumus Euler  , buktinya:

dengan cara yang sama kita memperoleh

Perkalian antara z₁ = r₁ . e dan z₂  = r₂ . edan pembagian diantara keduanya dapat ditulis:

Z₁ . z₂  =  r₁ . e .  r₂ . e=   r . e

Dimana :         r   =  r₁ . r₂  

                     =  +

Z₁ / z₂  = ( r₁ . e) / ( r₂ . e)   =   r . e

Dimana :         r   =  r₁ / r₂  

                     =  -

Menurut teorema De Moivre dan akar-akar bilangan kompleks dapat ditunjukkan bahwa:

Zⁿ  =  rⁿ .  e =  rⁿ .  untuk r = 1

z =  

      =    untuk k = 0, 1, 2, 3, ……., n - 1

Contoh :

Kerjakan operasi bilangan kompleks di bawah:

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

  Nyatakan dalam bentuk kutub/polar

1.  

2.  

3.  

4.  

TUGAS

1.    kerjakan setiap operasi berikut:

a.   

b.   

c.   

d.   

e.   

f.    

2.    Nyatakan dalam bentuk polar/kutub:

a.   

b.   

c.   

d.    5

e.    -5i

3.    Jika  dan  tunjukkan bahwa:

a.   

b.   

c.   

d.